PEDAGOGÍA GENERAL BÁSICA: MATEMÁTICA BÁSICA

Números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por IN y corresponde al siguiente conjunto numérico:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ........}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a IN.

Ejemplo: 2 + 6 = 8, el 8 pertenece a IN.

5 · 3 = 15, el 15 pertenece a IN.

No ocurre lo mismo con las operaciones inversas, o sea, la sustracción y la división. Ellas no son operaciones cerradas en IN.

Ejemplo: 3 - 5 = -2, y -2 no es un elemento de IN.

1 : 4 = 0,25; y 0,25 no es un elemento de IN.

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la adición:

Conmutatividad: a + b = b + a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 + 6 = 9, es lo mismo que 6 + 3 = 9.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que (5 + 2) + 6 = 5 + (2 + 6). Resolvamos los paréntesis:

7 + 6 = 5 + 8

13 = 13

En los números naturales se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicación:

Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a IN

Esto se puede apreciar claramente, ya que 3 · 6 = 18, es lo mismo que 6 · 3 = 18.

Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a IN

Verifiquemos que (5 · 2) · 6 = 5 · (2 · 6). Resolvamos los paréntesis:

10 · 6 = 5 · 12

60 = 60

Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a IN.

Todo elemento de IN multiplicado por 1, resulta el mismo elemento. 5 · 1 = 5; 9 · 1 = 9 ...

Distributividad: a·(b + c) = a·b + a·c, con a, b y c pertenecientes a IN.

Verifiquemos que 5·(3 + 6) = 5·3 + 5·6

5·9 = 15 + 30

45 = 45

Composición y descomposición de números naturales

La composición aditiva de un número tiene que ver con el hecho que un número natural puede obtenerse a partir de la suma de 2 o más números. Y la descomposición aditiva corresponde a la operación inversa, es decir dado un número buscar dos o más sumando cuya suma corresponda a dicho número.

La composición y descomposición aditiva constituye un contenido que se trabaja en los distintos niveles del primer ciclo básico y juega un papel relevante en la comprensión de la formación de los números, del concepto de valor de posición, de algunas estrategias de cálculo mental y de los algoritmos de cálculo.

Se comienza con la composición y descomposición aditiva de dígitos, como por ejemplo, en la forma 8 = 5 + 3; 6 + 2, = 8, etc., en el caso de la composición y en la forma 8 = 5 +`3; 8 = 6 + 2, etc. en el caso la descomposición. En cuanto a la composición y descomposición aditiva de números de más cifras se trabaja componiendo y descomponiendo los números de modo que ello facilite su lectura. Por ejemplo, se compone el número “doce mil cuatrocientos sesenta y cuatro” en la forma 12.000 + 324. Por último se plantean la llamada “composición aditiva canónica” y la “descomposición aditiva canónica” que implica obtener un número o descomponer un número considerando las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc. que lo forman.

Es decir, composiciones aditivas del tipo:

20 + 5 = 25; 300 + 40 + 8= 348;
1.000 + 800 + 70 + 9 = 1.879; 10.000 + 4.000+ 500 + 7 = 14.507.

Y descomposiciones aditivas del tipo:

32 = 30 + 2; 458 = 40 + 50 + 8
1.523 = 1.000 + 500 + 20 + 3 16.324 = 10.000 + 6.000 + 300 + 20 + 4

Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. En el sistema decimal el número 528 , por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 500 + 20 + 8 = 528 SISTEMA DECIMAL El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes . LOS NÚMEROS DECIMALES SE PUEDEN REPRESENTAR EN RECTAS NUMÉRICAS.
LA RECTA NUMÉRICA La recta numérica es una línea recta en la que asociamos cada número con un punto de la recta. La recta la dibujamos horizontal, se elige un punto arbitrario, llamado origen, que representa al 0 y un punto a la derecha que representa al 1 . Los demás enteros positivos se colocan en orden tomando como unidad la distancia entre 0 y 1. Nota: En general la recta puede ser vertical o inclinada, sobretodo para las aplicaciones. Pero al principio es recomendable empezar con la recta horizontal.
23. LA RECTA NUMÉRICA La recta en geometría se define como una línea infinita que idealiza o simula un haz de luz, entonces una recta numérica o real es una línea sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O , que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija u (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda. Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario
24. La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos . La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada sentido.
25. RECTA NUMÉRICA REAL La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales . Tiene su origen en el cero , y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
26. La recta numérica esta dividida por segmentos de un mismo tamaño, un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos . La recta se dice que es infinita porque esta comprendida por puntos que no tienen un limite, estos puntos pueden ser tanto positivos como negativos. Los usos que tiene la recta son: En un plano cartesiano Para la suma y resta Para la medir la temperatura Longitud Presión Línea cronológica.
NÚMEROS RACIONALES Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero . Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales ; pero los números decimales ilimitados no.
13. NÚMEROS IRRACIONALES Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas , por tanto no se pueden expresar en forma de fracción . El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. = 3.141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459...
14. NÚMEROS ENTEROS Los números enteros son del tipo: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. NÚMEROS NATURALES Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto ( número cardinal ). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto ( ordinal ). El conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
15. NÚMERO PRIMO Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1 . Los números primos menores que cien son los siguientes: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 y 97 NÚMERO COMPUESTO Todo número natural no primo , a excepción del 1 , se denomina compuesto , es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse estos números. Los 20 primeros números compuestos son: 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 30 y 32 .
16. NÚMERO NEGATIVO Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero y, por tanto, que los demás números positivos , como 7, 49/22 ó π. Se utilizan para representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre otras cosas. NÚMEROS FRACCIONARIOS Los Números Fraccionarios , son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
17. NÚMEROS FRACCIONARIOS Fracciones. El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes. Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria .
18. La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria. Ejemplos: Hay 8 partes de las cuales se han pintado 5, por lo tanto, la fracción que representa matemáticamente este dibujo es 5 / 8 (se lee cinco octavos).

Definición de Adición:

Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplo:

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2.Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos

(− 3) + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Definición de sustracción:

Restar un número es igual que sumar su opuesto.

a – b = a + -b El opuesto de b es -b

Ejemplo:

3 – 4 = 3 + -4 El opuesto de 4 es -4

En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto del número que se está restando, entonces se siguen las reglas de la suma.

-2 - 5 = -2 + -5 El opuesto de 5 es –5

(- 2)+ (-5) = -7

5 - ( -7) = 5 + 7 = 12 El opuesto de –7 es 7

Los múltiplos de un número.

Los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales.
Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.

El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos.

El número 0 es múltiplo de todos los números.

- Todos los números son múltiplos de 1.- Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.- En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es también múltiplo de 3.

- Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5.

- Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3.

- En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9.

Factorización en primos

"Factorizar en primos" es averiguar qué números primos tienes que multiplicar juntos para obtener el número original.

Ejemplo 1

¿Cuáles son los factores primos de 12?

Es mejor empezar por el número primo más pequeño, que es 2, así que comprobamos:

12 ÷ 2 = 6

Pero 6 no es primo así que tenemos que factorizarlo también:

6 ÷ 2 = 3

Y 3 es primo, así que:

12 = 2 × 2 × 3

Como ves, cada factor es un número primo, así que la respuesta es correcta - la factorización en primos de 12 es 2 × 2 × 3, también podemos escribir 2² × 3

Ejemplo 2

¿Cuál es la factorización en primos de 147?

¿Podemos dividir 147 exactamente entre 2? No, así que probamos con el siguiente número primo, 3:

147 ÷ 3 = 49

Ahora intentamos factorizar 49, y vemos que 7 es el primo más pequeño que funciona:

49 ÷ 7 = 7

Y con esto terminamos, porque todos los factores son números primos.

147 = 3 × 7 × 7 = 3 × 7²

El lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.

El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.

En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x⁴ = x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

– 3x² = – x² – x² – x²

Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.

Ejemplos:

5x³ = 5 (x) (x) (x)

8( – x + 5)² = 8(– x + 5) (– x + 5)

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican.

Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable.

A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una expresión algebraica:

Frase	Expresión algebraica
La suma de 2 y un número	2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida)
3 más que un número	x + 3
La diferencia entre un número y 5	a - 5
4 menos que n	4 - n
Un número aumentado en 1	k + 1
Un número disminuido en 10	z - 10
El producto de dos números	a • b
Dos veces la suma de dos números	2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro	2a + b
Cinco veces un número	5x
Ene veces (desconocida) un número conocido	n multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números	a b
La suma de dos números	x + y
10 más que n	n + 10
Un número aumentado en 3	a + 3
Un número disminuido en 2	a – 2
El producto de p y q	p • q
Uno restado a un número	n – 1
El antecesor de un número cualquiera	x – 1
El sucesor de un número cualquiera	x + 1
3 veces la diferencia de dos números	3(a – b)
10 más que 3 veces un número	10 + 3b
La diferencia de dos números	a – b
La suma de 24 y 19	24 + 19 = 43
19 más que 33	33 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 4	2(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 16	6 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 21	3(27 – 21) = 81 – 63 = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado	9² – 4² = 81 – 16 = 65
El cociente de 3 al cubo y 9	3³ / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12	12² ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5

Propiedades de las ecuaciones

Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.

Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos.

Fracciones

Concepto de fracción

$Tipos de fracciones.$

Tipos de fracciones

$Tipos de fracciones.$

viernes, 21 de junio de 2013

MATEMÁTICA BÁSICA